信号的时域、s域与z域

1. 时域（Time Domain）

• 描述: 在时域中，信号的表示形式通常是时间 $( t )$ 的函数，例如 $( x(t) )$。
• 特点:
  • 连续时间信号：如 $( x(t) )$。
  • 离散时间信号：如 $( x[n] )$，其中 $( n )$ 是离散时间的索引。
• 应用: 直接分析信号的时间行为，例如瞬时值、持续时间、时延等。

2. s域（Laplace Domain）

• 描述: s域是通过拉普拉斯变换将时域信号映射到复平面 ( s ) 的域中，其中$( s = \sigma + j\omega )$。
• 基本公式:
  $$[
  X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\} = \int_{0}^{\infty} x(t) e^{-st} dt
  ]$$
• 特点:
  • 实部 $( \sigma )$: 衰减因子，决定信号在时间上的增长或衰减。
  • 虚部 $( \omega )$: 角频率，决定信号的振荡频率。
• 应用: 主要用于分析系统的稳定性、瞬态响应、稳态响应等。

3. z域（Z-Transform Domain）

• 描述: z域是通过Z变换将离散时间信号映射到复平面 $( z )$ 的域中，常用于数字信号处理。
• 基本公式:
  $$[X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}]$$
• 特点:
  • $( z = e^{sT} )$, 其中 $( T )$ 是采样周期。
  • 当 $( z = e^{j\omega T} )$ 时，z域可以映射到频率响应分析。
• 应用: 用于分析和设计数字滤波器、控制系统的离散模型以及频率响应分析。

4. 三个域之间的关系

• 时域到s域: 通过拉普拉斯变换将连续时间信号从时域映射到s域。
• 时域到z域: 通过Z变换将离散时间信号从时域映射到z域。
• s域与z域的联系: z域是对离散系统的分析工具，而s域用于连续系统，但通过 $( z = e^{sT} )$ 可以将二者联系起来。